「もう一つの」極座標変換

(x,\quad y)平面上の関数を極座標(r,\quad \theta)積分すると便利なことがある。少々トリッキーだが有名な例は
I:= \int_{{\mathbf{R}}}^{} e ^{-x ^{2} } dx
の例で、この場合には
I ^{2} = \int_{{\mathbf{R}}}^{}  \int_{{\mathbf{R}}}^{} e ^{-x ^{2} } e ^{-y ^{2} } dxdy

r=cos\theta,\quad y=r\sin\theta \quad(0 \le r < \infty,\:0\le\theta<2\pi)
と変換してやると
dx=\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta,\quad dy=\sin\theta dr + r \cos\theta d\theta
より
dx\wedge dy = r\cos^2\theta dr\wedge d\theta - r \sin^2\theta d\theta\wedge dr = r dr\wedge d\theta
なので
I^2=\int_{0}^{\infty}\quad\int_{0}^{2\pi}e^{-r^{2}}drd\theta \quad =\quad \int_0^{2\pi}d\theta \quad\int_0^{\infty}re^{-r^2}dr \quad =\quad 2\pi \quad\frac{\quad 1\quad}{2}\quad[e^{-r^2}]_{0}^{\infty}= \pi.
I被積分関数は正値をとるのでI\ge 0だからI=\sqrt{\pi}が得られる。


さて、上では\quad r\quad\quad 0\le r < \infty\quad の範囲で動かしたが、[tex:\quad -\infty